Контрольная работа

1. Цель работы

 Цель контрольной работы – демонстрация полученных теоретических знаний и приобретенных практических навыков по эконометрике – как синтезу экономической теории, экономической статистики и математики, в том числе исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и множественной регрессии (ЛММР), трендовых моделей, методом наименьших квадратов (МНК).

Для проведения расчетов использовалось приложение к ПЭВМ типа EXCEL.

  Исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и

множественной регрессии (ЛММР) методом наименьших

квадратов (МНК).

 2.1 Контрольная задача № 1

 2.1.1. Исследуем зависимость производительности труда Y (т/ч) от уровня механизации Х (%).

Исходные данные для 14 однотипных предприятий приводятся в таблице 1:

Таблица 1

 2.1.2 Матричная форма записи ЛМПР (ЛММР):

Y^ = X* A^  (1), где А^ – вектор-столбец параметров регрессии;

x_i1 – предопределенные (объясняющие) переменные, n = 1;

ранг матрицы X = n + 1= 2 < k = 14    (2).

Исходные данные представляют в виде матриц.

( 1  32 )             (20 )

( 1  30)             (24 )

( 1  36)             (28 )

( 1  40 )             (30 )

(1  41 )             (31 )

( 1  47 )             (33)

X = (1  56)        Y =  (34 )

(1  54)            (37 )

(1  60 )            (38 )

(1  55 )            (40 )

( 1  61 )            (41 )

( 1  67 )            (43)

(1  69 )            (45 )

( 1  76 )            (48 )

Значение параметров А^ = (а₀, а₁) ^T  и s² – нам неизвестны и их требуется определить (статистически оценить) методом наименьших квадратов.

Так как матрица Х, по условию, является прямоугольной, а обратную матрицу Х^-1 можно рассчитать только для квадратной матрицы, то произведем небольшие преобразования матричного уравнения типаY = X *A, умножив левую и правую части на транспонированную матрицу Х ^Т.

Получим  X^T* X * A^{^} = X ^T * Y ,

откуда A^{^} = (X^T * X ) ^–1 *( X^T * Y)  (3),

где (X^T * X ) ^–1 – обратная матрица.

 Решение.

а) Найдем транспонированную матрицу Х^Т :

(  1  1  1  1   1  1  1  1   1  1   1  1  1  1 )

X^T = ( 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76 )

в)  Находим произведение матриц X^T *X :

(  14    724 )

X^T * X =  ( 724   40134)

 г) Находим произведение матриц X^T * Y:

 (  492  )

X^T * Y = ( 26907 )

 д)  Вычисляем обратную матрицу  ( X^T * X) ^–1 :

(  1,064562  -0,0192 )

( X^T * X) ^–1 = (-0,0192   0,000371)

 е) Умножаем обратную матрицу  ( X^T * X) ^–1 на произведение

матриц (X^T *Y) и получаем вектор- столбец A^ = (a ₀ , a ₁)^T :

(  7,0361  )

A^ = ( X^T * X) ^–1 * (X^T * Y) =  (  0,543501).

Уравнение парной регрессии имеет следующий вид:

у_i^{^} = 7,0361 + 0,543501* x_i1   (4).

у_i^{^} (60) = 7,0361 + 0,543501*60 = 39, 646.

 2.1.3 Оценка качества найденных параметров

Для оценки качества параметров Â применим коэффициент детерминации R² . Величина R² показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена объясняющей переменной. Чем ближе R² к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует экспериментальные данные.

Q = ∑(y_i – y¯)² (5) – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней; Q_R = ∑(y^_i – y¯)² (6) – сумма квадратов, обусловленная регрессией; Q_е = ∑(y_i – y^_i)² (7) – остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов; Q = Q_R + Q_е  (8).

Q = 847,714; Q_R = 795,453; Q_е = 52,261.

Q = Q_R + Q_е = 795,453 + 52,261 = 847,714.

R² = Q_R / Q = 795,453 / 847,714 = 0,9383.

R² = 1 – Q_e / Q = 1 – 52,261 / 847,714 = 0, 9383.

В нашем примере коэффициент детерминации R², очень высокий, что показывает на хорошее качество регрессионной модели (4).

 2.2 Контрольная задача № 2

 2.2.1. Исследуем зависимость урожайности зерновых Y от ряда переменных, характеризующих различные факторы:

Х₁ – количество удобрений, расходуемых на гектар (т\га);

Х₂ – количество химических средств защиты растений на гектар ( ц\га) .

Исходные данные для 5 районов области приводятся в таблицах:

Таблица 2

 2.2.2. Матричная форма записи ЛММР:

Y^ = X* A^  (1), где А^ – вектор-столбец параметров регрессии ;

х_{i 1} , х_{i 2}  – предопределенные (объясняющие) переменные, n = 2;

Ранг матрицы X = n + 1= 3 < k = 5    (2).

Исходные данные представляют в виде матриц.

( 1  0,32  0,14 )        (9,7)

( 1  0,59 0,66 )        ( 8,4

X = ( 1  0,3   0,31 )    Y = (9,3 )

( 1  0,43  0,59 )        (9,6)

(1  0,39  0,16 )        (9,6)

Значение параметров А^ = (а₀, а₁, а ₂ ) ^T  и s² – нам неизвестны и их требуется определить ( статистически оценить ) методом наименьших квадратов.

Для нахождения параметров A^{^} применим формулу (3) задачи № 1

A^{^} = (X^T * X ) ^–1 * X^T * (3),

где (X^T * X ) ^–1 – обратная матрица.

 2.2.3. Решение.

а) Найдем транспонированную матрицу Х^Т :

(  1    1    1    1   1   )

X^T = ( 0,32 0,59 0,38 0,43 0,39 )

( 0,14  0,66 0,53 0,59 0,13 ).

в)  Находим произведение матриц X^T *X :

(  5     2,11  2,05 )

X^T * X =  ( 2,11   0,932  0,94 )

( 2,05  0,94   1,101).

г) Находим произведение матриц X^T * Y:

(  46,6  )

X^T * Y =  ( 19,456 )

( 18,731 ).

д)  Вычисляем обратную матрицу  ( X^T * X) ^–1 :

(  5,482    – 15,244  2,808  )

( X^T * X) ^–1 = (  -15,244   50,118  -14,805 )

(  2,808    -14,805   7 ,977  ).

е) Умножаем обратную матрицу  ( X^T * X) ^–1 на произведение

матриц  X^T * Y и получаем вектор- столбец A^ = (a ₀ , a ₁, a ₂)^T :

(  11, 556 )

A^ = (X^T * X) ^–1 * (X^T * Y) = (  -5, 08  )

(  0, 0219 )

Уравнение множественной регрессии имеет следующий вид:

 y_i^{^} = 11,456 – 5,08 * x_i1 – 0,0219 * x_i2 (4) .

 2.2.4. Оценка качества найденных параметров

Для оценки качества найденных параметров а^₀ , a^₁ .a^₂ необходимо найти оценку дисперсии по формуле

 1

s^² = ———— (Y – X * A^)^T * (Y – X * A^),

k – n – 1

 после чего можно найти среднеквадратические ошибки S_L по формуле S_L = s^√h_ii , где h_ii элементы главной диагонали матрицы (X^T * X) ^–1 .

А. Произведение матриц X * A^:

( 9,833 )

( 8,472 )

Y^{^} =X * A^ = ( 9,536 )

( 9,283 )

(9,476 ).

Б. Разность  матриц ( Y – X * A^ ) :

( -0,132 )

( – 0,072 )

( Y – X * A^ ) =(-0,036  )

( 0,116  )

( 0,0835 ).

 В. ( Y – X * A^ )^T = (-0,132; -0,072; -0,036; 0,116; 0,0835 )

Г. Произведение ( Y – X * A^ )^T * ( Y – X * A^ ) = 0,04458 .

С учетом того, что в нашем примере к = 5 и n = 2

1                                                              1

s^² = ———— (Y – X * A^)^T *(Y – X * A^) =——* 0,04458 = 0,0223.

k – n – 1                                                   2

s^ = Ö 0,0223 = 0,1493 .

Г. Среднеквадратические ошибки оценок параметров будут равны:

S ₀ = 0,0223 * Ö 5,482 = 0,3496 ;

S ₁ = 0,0223 * Ö 50,118 = 1,057 ;

S ₂ = 0,0223 * Ö 7,977 = 0,4217 .

 Среднеквадратические ошибки имеют различное значения, иногда превышающие оценки параметров, что связано с малым количеством статистических данных.

3. Контрольная задача № 3

 Оценки параметров трендовой модели.

 3.1. По данным о розничном товарообороте региона нужно

произвести анализ основной тенденции развития товарооборота.

Таблица 3

3.2. Решение задачи будем производить методом множественной регрессии с оценкой параметров а₀, а₁, а₂, а₃ , так как: во-первых, абсолютный прирост неравномерен по годам; во-вторых, темпы роста также неравны между собой, то есть необходимо оценивать параметры а₂ и а₃ .

Матрица Х размерами 5×4 и вектор-столбец Y размерами 5×1,  будут иметь следующий вид:

( 1  1  1  1 )              (1,84E+10 )

( 1  2  4  8 )              ( 1,89E+10 )

X = ( 1 3 9   27)       Y =   ( 1, 98E+10)

( 1 4 16 64)              (2, 03E+10)

( 1 5 25 125)             ( 2,11E+10 )

Решение задачи с помощью п риложения EXCEL позволило получить следующие оценки параметров Â и соответственно аппроксимируемые значения Y^:

(а₀ )    ( 1,79E+10 )         (1, 838E+10 )

(а₁ )    ( 3,976E+08 )        ( 1,899E+10 )

 =  (а₂ ) =  ( 8,929E+07 )   Y^ = ( 1, 967E+10 )

(а₃ )    (- 8,333E+06)        ( 2, 039E+10)

( 2, 108E+10).

Отрицательное значение параметра а₃ = – 8,333Е+06 говорит о том, что ускорение (темп роста) замедляется, что качественно можно оценить и из вышеприведенной таблицы.

 3.3. Анализ полученной трендовой модели на качество аппроксимации произведем помощью коэффициента детерминации R² .

Значение коэффициента детерминации R² = 0,9931 говорит об очень хорошем качестве трендовой модели

y_t (млрд.руб) = 17,9 + 0,3976 * t + 0,08929*t² – 0,008333*t³ .